Fractales en la Aplicación del Método de Newton al Plano Complejo

Juneth A. Terán-Tarapúes, Catalina M. Rúa-Alvarez

Resumen

Abstract

Newton’s method is one of the most known methods for approximation of solutions of equations and systems of non-linear equations. In this paper some characteristics of Newton’s method will be shown to approximate real solutions from numerical results. Furthermore, the application of the method to approximate complex solutions will be presented, by mean of the development of the well-known Cayley problem proposed in the year 1879 which states: “If we begin with a random point on the complex plane, what root of the function f(z) = z3 − 1 will converge to Newton’s method?”. The answer to this problem lead us surprisingly to a fractal. 

 

Resumen

El método de Newton es uno de los más conocidos para aproximar soluciones de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones no lineales. En este texto se mostrarán a partir de resultados numéricos algunas características del método de Newton para aproximar soluciones reales. Además se presentará la aplicación que tiene este método para aproximar soluciones complejas, a través del desarrollo del conocido problema de Cayley propuesto en el año 1879 dado por: “¿Si se parte de un punto aleatorio del plano complejo, a qué raíz de la función f(z) = z3 −1 convergirá el método de Newton?”. La respuesta a este problema conduce sorprendentemente a una figura fractal. 

Palabras clave

Newton’s method, complexes, iterations, fracta, Método de Newton, complejos, iteraciones, fractal

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